Contoh soal dan solusi matematika kombinatorik

1. Pak Tino memiliki 4 anak perempuan dan 3 anak laki-laki yang semuanya berusia dibawah 17 tahun. Pak Tino ingin mengajak anak-anaknya ke restoran. Karena mobil Pak Tino hanya muat 5 penumpang termasuk dirinya, maka hanya 4 anaknya yang bisa naik mobilnya. Pak Tino perlu minimal satu anak laki-laki di mobilnya untuk menemaninya sebagai petunjuk jalan. Berapa banyaknya cara Pak Tino  memilih anak-anaknya untuk naik mobilnya jika

a.      Tempat duduk anak-anak tersebut diperhatikan

Cara 1: (difference rule)

Banyaknya cara = total seluruh kemungkinan – kemungkinan semua anak perempuan

= P(7,4) – P(4,4) = 816 cara

Cara 2: (addition rule)

Banyaknya cara =    (1 anak lelaki dan 3 anak perempuan ) +(2 anak lelaki dan 2 anak perempuan )+ (3 anak lelaki dan 1 anak perempuan )

=    (P(4) * C(3,1)*C(4,3)) +  ((P(4) * C(3,2)*C(4,2)) + (P(4) *C(3,3)*C(4,1))

=  (24*3*4) + (24*3*6) + (24*1*4)

=  288 +  432 + 96  =  816

Common Mistake:

C(3,1) x P (6,3) = 3 x 120 = 360

Jika jawabannya seperti ini, berarti sudah dipastikan bahwa yang diajak adalah (1 laki-laki dan 3 perempuan), padahal bisa saja yang diajak adalah (2 laki-laki + 2 perempuan kan)?

b.      Tempat duduk tidak diperhatikan

Cara 1: (difference rule)

Banyaknya cara = C(7,4) – C(4,4) = 34 cara

 Cara 2: (addition rule)

Banyaknya cara =    (1 anak lelaki dan 3 anak perempuan ) + (2 anak lelaki dan 2 anak perempuan ) + (3 anak lelaki dan 1 anak perempuan )

=    (C(3,1)*C(4,3)) +  (C(3,2)*C(4,2)) + (C(3,3)*C(4,1))

=  (3*4) + (3*6) + (1*4)

=  12 + 18 + 4 = 34

Common Mistake:

C(3,1) x C (6,3) = 3 x  20 = 60

Jika jawabannya seperti ini, berarti sudah dipastikan bahwa yang diajak adalah (1 laki-laki dan 3 perempuan), padahal bisa saja yang diajak adalah 2 laki-laki + 2 perempuan kan?

2. Terdapat 5 buah bola dan 3 buah kotak.

 a.      Jika setiap bola dapat dibedakan menjadi b₁,b₂,b₃,b₄,b₅ dan setiap kotak dapat dibedakan menjadi k₁, k₂, k₃, ada berapa cara untuk menempatkan 3 bola ke 3 kotak terebut? (masing-masing kotak berisi 1 bola)

Banyaknya cara menempatkan 3 bola ke 3 kotak = P(5,3) = 60 cara

b.      Jika semua bola tidak dapat dibedakan dan setiap kotak dapat dibedakan menjadi k₁, k₂, k₃, ada berapa cara untuk menempatkan kelima bola ke 3 kotak tersebut?

Banyaknya cara menempatkan kelima bola ke 3 kotak tersebut = C (5+3-1,5) = 21 cara

c.       Jika semua bola tidak dapat dibedakan dan setiap kotak dapat dibedakan menjadi k₁, k₂, k₃, ada berapa cara untuk menempatkan kelima bola ke dalam ketiga kotak tersebut agar setiap kotak terisi paling sedikit satu bola?

Banyaknya cara menempatkan kelima bola kedalam tiga kotak agar setiap kotak terisi paling sedikit 1 bola = C(2+3-1,2) = 6 cara

Tags: kombinasi, kombinatorik