Advertisements

Dependent Linear and Independent Linear

3 May

Untuk membuktikan bahwa sebuah himpunan fungsi adalah dependent linear, kita harus mencari konstanta a, b, c, dst yang tidak semuanya 0, sedemikian sehingga ap + bq + cr + … = 0. Jika kita tidak bisa menemukan konstanta a, b, c, dst yang tidak semuanya 0, maka dapat disimpulkan bahwa himpunan fungsi tersebut adalah independent linear.

Contoh 1:

Buktikan bahwa himpunan {2x, x – 1, 2 – x} dependen linier.

Misalkan:
p = 2x
q = x – 1
r = 2 – x

Agar {p, q, r} dependen linier, maka harus ada konstanta a, b, c, yang tidak semuanya 0, sedemikian
sehingga ap + bq + cr = 0.

Jika disederhanakan:
a(2x) + b(x – 1) + c(2 – x) = 0
2ax + bx – b + 2c – cx = 0
x(2a + b – c) – b + 2c = 0

Maka, terdapat sebuah sistem dengan 2 persamaan:
2a + b – c = 0
–b + 2c = 0

Dengan mengambil a = 1, b = –4, dan c = –2, maka sistem persamaan tersebut terpenuhi. Karena a, b, c
tidak semuanya 0, maka terbukti bahwa {p, q, r} dependen linier. (QED)

Contoh 2:

Buktikan bahwa himpunan {1, 2x – 1, x2 + 1} independen linier.

Misalkan:
p = 1
q = 2x – 1
r = x^2 + 1 (x^2 menyatakan x kuadrat)

Agar {p, q, r} dependen linier, maka harus ada konstanta a, b, c, yang tidak semuanya 0, sedemikian
sehingga ap + bq + cr = 0.

Jika disederhanakan:
a + b(2x – 1) + c(x^2 + 1) = 0
a + 2bx – b + cx^2 + c = 0
cx^2 + 2bx + a – b + c = 0

Maka, terdapat sebuah sistem dengan 3 persamaan:
c = 0
2b = 0
a – b + c = 0

Solusi yang memenuhi hanyalah a = 0, b = 0, c = 0. Karena a, b, c semuanya 0, maka terbukti bahwa
{p, q, r} independen linier. (QED)

Okay, demikianlah sedikit penjelasan mengenai dependent linear dan independent linear yang biasanya sering kita gunakan dalam pemasalahan matematika, terutama matriks dalam aljabar linear. Semoga kita semua mengerti dan bertambah ilmunya. Terima kasih.

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: