Untuk membuktikan bahwa sebuah himpunan fungsi adalah dependent linear, kita harus mencari konstanta a, b, c, dst yang tidak semuanya 0, sedemikian sehingga ap + bq + cr + … = 0. Jika kita tidak bisa menemukan konstanta a, b, c, dst yang tidak semuanya 0, maka dapat disimpulkan bahwa himpunan fungsi tersebut adalah independent linear.
Contoh 1:
Buktikan bahwa himpunan {2x, x – 1, 2 – x} dependen linier.
Misalkan:
p = 2x
q = x – 1
r = 2 – x
Agar {p, q, r} dependen linier, maka harus ada konstanta a, b, c, yang tidak semuanya 0, sedemikian
sehingga ap + bq + cr = 0.
Jika disederhanakan:
a(2x) + b(x – 1) + c(2 – x) = 0
2ax + bx – b + 2c – cx = 0
x(2a + b – c) – b + 2c = 0
Maka, terdapat sebuah sistem dengan 2 persamaan:
2a + b – c = 0
–b + 2c = 0
Dengan mengambil a = 1, b = –4, dan c = –2, maka sistem persamaan tersebut terpenuhi. Karena a, b, c
tidak semuanya 0, maka terbukti bahwa {p, q, r} dependen linier. (QED)
Contoh 2:
Buktikan bahwa himpunan {1, 2x – 1, x2 + 1} independen linier.
Misalkan:
p = 1
q = 2x – 1
r = x^2 + 1 (x^2 menyatakan x kuadrat)
Agar {p, q, r} dependen linier, maka harus ada konstanta a, b, c, yang tidak semuanya 0, sedemikian
sehingga ap + bq + cr = 0.
Jika disederhanakan:
a + b(2x – 1) + c(x^2 + 1) = 0
a + 2bx – b + cx^2 + c = 0
cx^2 + 2bx + a – b + c = 0
Maka, terdapat sebuah sistem dengan 3 persamaan:
c = 0
2b = 0
a – b + c = 0
Solusi yang memenuhi hanyalah a = 0, b = 0, c = 0. Karena a, b, c semuanya 0, maka terbukti bahwa
{p, q, r} independen linier. (QED)
Okay, demikianlah sedikit penjelasan mengenai dependent linear dan independent linear yang biasanya sering kita gunakan dalam pemasalahan matematika, terutama matriks dalam aljabar linear. Semoga kita semua mengerti dan bertambah ilmunya. Terima kasih.
Science Booth 
Leave a Reply